题目内容

【题目】如图1,△ABC中,AC=BC,∠A=30°,点D在AB边上,且∠ADC=45°.

(1)求∠BCD的度数;

(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′,当点D′恰好落在BC边上时,如图2所示,连接C′C并延长交AB于点E.

①求∠C′CB的度数;

②求证:△C′BD′≌△CAE.

【答案】115° 2①75° ②见解析

【解析】【试题分析】

(1)AC=BC,∠A=30°,根据等边对等角得,∠B=∠A=30°.

因为∠ADC=45°,根据外角的性质得,∠BCD=∠ADC-∠B=15°.

(2)①由旋转的性质得BC=BC′=AC,∠C′BD′=∠CBD=∠A=30°.

在等腰三角形 ,根据的内角和定理得CCB=CCB=75°.

利用外角的性质得CEB=CCB-CBA=45°,

ACE=CEB-A=15°.等量代换得BCDBCD=ACE.

△C′BD′△CAE

利用SAS判定得,△C′BD′≌△CAE.

【试题解析】

(1)∵AC=BC,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°.

∵∠ADC=45°,∴∠BCD=∠ADC-∠B=15°.

(2)①由旋转BC=BC′=AC,∠C′BD′=∠CBD=∠A=30°.

∴∠CC′B=∠C′CB=75°.

证明:∵∠CEB=∠C′CB-∠CBA=45°,

∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°.

∴∠BC′D′=∠BCD=∠ACE.

△C′BD′△CAE

∴△C′BD′≌△CAE(ASA).

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