Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，点P为x轴上一个动点，（点P不与O、A重合），连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，∠CPD=45°，且

BD

AD

=

1

3

，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）作BE⊥OA，利用等腰梯形的性质得出AE=BE，进而利用勾股定理求出OE的长，即可得出B点坐标；
（2）分别利用当OP=CP时，以及当OC=OP、OC=CP时求出点P的坐标即可；
（3）根据已知首先证明△OCP∽△APD，再利用相似三角形的性质以及一元二次方程的解法求出即可．

解答：解：（1）过点B作BE⊥OA，
∵四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2

2

，
∴OE=7-2

2

，
∴点B的坐标(7-2

2

，2

2

)；

（2）当OP=CP时，
即∠COP=∠OCP=45°，
∴OP=PC，
OP²+CP²=OC²，
∴OP=2

2

，
∴P点坐标为：(2

2

，0)，
当OC=OP，即OC=OP=AB=4，
当OC=CP时，∠COP=∠CPO=45°，
∴∠OCP=90°，
∵CO=4，
∴CP=4，
∴OP=4

2

，
∴P点坐标为：P（4，0）或（-4，0）或（4

2

，0）；

（3）∵∠CPD=45°，
∴∠OPC+∠DPA=180°-45°=135°，
∵∠OCP+∠OPC=180°-45°=135°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠DAP=45°，
∴△OCP∽△APD，
∴

AD

OP

=

AP

CO

，
∵

BD

AD

=

1

3

，AB=4，
∴AD=3，

3

OP

=

7-OP

4

，
∴OP²-7OP+12=0，
解得：OP₁=3，OP₂=4，
∴P（3，0）或（4，0）．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，根据已知得出△OCP∽△APD以及分类讨论思想的应用是初中阶段考查重点．