Question

【题目】如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；

（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）， N（0，1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析，P（，4）或（﹣，4）．

【解析】

试题分析：（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N的坐标；

（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由PA=DM可证得结论；

（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标．

试题解析：（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，∴可设抛物线解析式为 ，∵点（2，2），（1，）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线解析式为，∴N点坐标为（0，1）；

（2）证明：设P（t，），则C（0，），PA=，∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），∴M（0，2），∵OC=，ON=1，∴DM=CN=﹣1=，∴OD=，∴D（0，），∴DM=2﹣（）==PA，且PM∥DM，∴四边形PMDA为平行四边形；

（3）解：同（2）设P（t，），则C（0，），PA=，PC=|t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = ==PA，且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵OA=|t|，OM=2，∴AM=，且PE=2PC=2|t|，当相似比为时，则=，即 =，解得t=或t=﹣，∴P点坐标为（，4）或（﹣，4）．