Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？
（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．

Answer 1

解：（1）∠1=∠2，
理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠1=∠2；

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠C=30°，
∴∠1=∠ADB-∠BDE=30°，
∵∠FDC=180°-∠DFC-∠C=60°，
∴∠2=∠ADC-∠FDC=60°．
分析：（1）根据已知得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，以及AD平分∠BAC，即可得出∠1=∠2；
（2）首先得出DE∥AC，再利用∠1=∠ADB-∠BDE=30°，进而求出∠FDC=180°-∠DFC-∠C=60°，即可求出∠2=∠ADC-∠FDC的度数．
点评：此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．