Question

如图，在正方形ABCD中，E是正方形内一点，F是正方形外一点，且∠EDC=∠FBC，EC⊥CF．
（1）求证：EC=FC；
（2）当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求tan∠FBE的值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，CD=CB，∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∵EC⊥CF，
∴∠BCF+∠BCE=90°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，

∠EDC=∠FBC CD=BC ∠BCF=∠DCE

，
∴△BCF≌△DCE（ASA），
∴EC=FC；

（2）如图，连接EF，∵EC⊥CF，EC=FC，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=135°-45°=90°，
∵BE：CE=1：2，
∴设BE=k，CE=2k，
则EF=

2

CE=2

2

k，
在Rt△BEF中，tan∠FBE=

EF

BE

=

2 2 k

k

=2

2

．