Question

如图，在平面直角坐标系中，A（2

3

，0），B（2

3

，2）．把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA₁B₁C₁，
（1）求B₁点的坐标；
（2）求过点（2，0）且平分矩形OA₁B₁C₁面积的直线l方程；
（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出△PC₁O与△PB₁A₁的面积和的值及△POA₁与△PB₁C₁的面积差的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可知∠AOA₁为旋转角，继而得出∠AOA₁=30°，∠B₁OA=60°．过点B₁作B₁E⊥OA于点E，Rt△B₁OE中，利用直角三角形的边与角的关系即可求得OE和B₁E的长，即可得到点的坐标；
（2）设F为A₁C₁与OB₁的交点即可知道点F的坐标，设直线l的方程为y=kx+b，把已知点代入即可求出直线l的方程．
（3）根据（2），直接计算出各个面积即可解答．

解答：解：（1）由已知可得：OA=2

3

， AB=2， ∠A=90°，
∴∠BOA=∠B₁OA₁=30°，OB=OB₁=4，
又∵∠AOA₁为旋转角，
∴∠AOA₁=30°，
∴∠B₁OA=60°，
过点B₁作B₁E⊥OA于点E，
在Rt△B₁OE中，∠B₁OE=60°，OB₁=4，
∴OE=2，B1E=2

3

．
∴B1(2， 2

3

)．（2分）

（2）设F为A₁C₁与OB₁的交点，可求得F(1，

3

)，
设经过P、E的直线是l，
设直线l的方程为y=kx+b，把点（2，0）、（1，

3

）代入可得：

0=2k+b 3 =k+b

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
∴直线l的方程为y=-

3

x+2

3

．（5分）

（3）2

3

，2

3

．（7分）

点评：本题难度属中上，主要考查了旋转的性质，一次函数的解析式以及图形的计算，综合性较强．