Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；（1分）
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即点F是BD中点．

（2）证明：连接CB、OC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径，
∴CG是⊙O的切线．（6分）

（3）∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．（7分）
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．（8分）
∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0
∴FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4

2

．
∴⊙O半径为2

2

．（10分）