题目内容
已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实数根.求实数a的取值范围.
考点:根的判别式,解一元二次方程-因式分解法
专题:
分析:先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式:a2-(x2+2x)a+x3-1=0,然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1;于是有x=a+1或x2+x+1-a=0,再利用原方程只有一个实数根,确定方程x2+x+1-a=0没有实数根,即△<0,最后解a的不等式得到a的取值范围.
解答:解:∵把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式:a2-(x2+2x)a+x3-1=0,则△=(x2+2x)2-4(x3-1)=(x2+2)2,
∴a=
,即a=x-1或a=x2+x+1.
所以有:x=a+1或x2+x+1-a=0.
∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根,
∴方程x2+x+1-a=0没有实数根,即△<0,
∴1-4(1-a)<0,解得a<
.
所以a的取值范围是a<
.
故答案为:a<
.
∴a=
x2+2x±(x2+2) |
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所以有:x=a+1或x2+x+1-a=0.
∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根,
∴方程x2+x+1-a=0没有实数根,即△<0,
∴1-4(1-a)<0,解得a<
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所以a的取值范围是a<
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故答案为:a<
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点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用.
练习册系列答案
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如图,△ABC中,AB=AC,E为AB的中点,BD⊥AC,若∠DBC=α,则∠BED为( )
A、3α | B、4α |
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截至8月21日,第十一号台风“尤特”致广西受灾人数升至1320000.1320000用科学记数法应表示为( )
A、132×104 |
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C、1.32×106 |
D、0.132×107 |