Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝BC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是_____．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

连接AD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，①正确；根据圆周角定理得到∠ADB=90°=∠ADC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，②正确；根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线，④正确；根据余角的性质得到∠EDA=∠ODB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ODB，求得∠EDA=∠B，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到AC=AB，求得OA=AC，③不正确

解：连接AD，

∵D为BC中点，点O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，①正确；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°＝∠ADC，

即AD⊥BC，又BD＝CD，

∴AC=BC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴∠B＝∠C，②正确；

∵DE⊥AC，且DO∥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD是半径，

∴DE是⊙O的切线，∴④正确；

∴∠ODA+∠EDA＝90°，

∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，

∴∠EDA＝∠ODB，

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；

∵D为BC中点，AD⊥BC，

∴AC＝AB，

∵OA＝OB＝AB，

∴OA＝AC，

∴2OA＝AC，

∴③不正确，

故答案为：①②④⑤．