Question

如图，已知C是线段AB上任意一点（C点不与A、B重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．求证：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）MN∥AB．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由边角边就可以得出△ACE≌△DCB，
（2）根据条件可以得出△DCN≌△ACM，就有CM=CM．就可以得出△CNM是等边三角形，就可以得出∠CNM=∠BCN=60°，就有MN∥AB．

解答：解：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠ACD．
在△DCN和△ACM中

∠CAE=∠CDB AC=DC ∠DCE=∠ACD

，
∴△DCN≌△ACM（ASA），
∴CN=CM．
∵∠DCE=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠CNM=∠BCN，
∴MN∥AB．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．