题目内容
如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD。
(1)求C,M两点的坐标;
(2)试判断直线CM与半圆P的位置关系,并证明你的结论。
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(2)试判断直线CM与半圆P的位置关系,并证明你的结论。
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)联结PM,因A、B、M均在半圆P上,且AB=10, ∴PM=PA=PB=5, ∴OP=OB-PB=3, 在Rt△POM中,由勾股定理得:OM=, M的坐标为(0,4), ∵正方形ABCD, ∴矩形OBCE,AB=CB=10, ∴CE=OB=8, ∴C的坐标为(8,10); (2)直线CM是半圆P的切线; 联结CM,CP, 由(1)可知,BM=OB-OM=10-4=6, 在Rt△CEM中,CM=, ∵BC=10, ∴BC=CM, ∵BP=PM,CP=CP, ∴△CMP≌△CBP, ∴∠CMP=∠CBP=90°, ∴直线CM是半圆P的切线; (3)存在; 作M关于x轴的对称点M1(0,-4), 联结M1C,与x轴交于点Q,Q为所求, 可求得M1C的解析式为:, 当y=0时,x=, ∴点Q的坐标为(,0)。 |
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