题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）连接EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．

解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =cotB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴DE：DF= $\text{[math]}$

（2）由△BED∽△AFD，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AF= $\text{[math]}$ BE，
∵BE=x，
∴AF= $\text{[math]}$ x，AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（ $\text{[math]}$ x）²= $\text{[math]}$ ，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED= $\text{[math]}$ EF，DF= $\text{[math]}$ EF，
∴y= $\text{[math]}$ ED•FD= $\text{[math]}$ EF²，
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ （0≤x≤3）

（3）如图，得：
①在等腰△EFG中，EF=EG，

∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF²=AB²
∴ $\text{[math]}$ =9
解得x= $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ ；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A为EG中点
∴AE=AD，
∵AB=3，AD= $\text{[math]}$ ，
∴BE=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴△EFG能成为等腰三角形，BE的长为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论．
（2）由条件把AE、AF用含x的式子表示出来，由勾股定理把EF表示出来，再根据（1）的结论把DE、DF用含EF的式子表示出来，根据直角三角形的面积公式就可以求出y的表达式．
（3）如图，根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出BE的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，勾股定理的运用．