题目内容
【题目】如图,抛物线与
轴交于点C(O,4),与
轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴
与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。
【答案】(1)抛物线的解析式是;
(2)不存在满足条件的点F;
(3)满足条件的点P有三个,分别是P1 (3,1),P2(2+,2 -
),P3(2—
,2十
)
【解析】
试题(1)先把C(0,4)代入y=ax2+bx+c,得出c=4①,再由抛物线的对称轴x=-=1,得到b=-2a②,抛物线过点A(-2,0),得到0=4a-2b+c③,然后由①②③可解得,a=-
,b=1,c=4,即可求出抛物线的解析式为y=-
x2+x+4;(2)假设存在满足条件的点F,连结BF、CF、OF,过点F作FH⊥x轴于点H,FG⊥y轴于点G.设点F的坐标为(t,-
t2+t+4),则FH=-
t2+t+4,FG=t,先根据三角形的面积公式求出S△OBF=
OBFH=-t2+2t+8,S△OFC=
OCFG=2t,再由S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC,得到S四边形ABFC=-t2+4t+12.令-t2+4t+12=17,即t2-4t+5=0,由△=(-4)2-4×5=-4<0,得出方程t2-4t+5=0无解,即不存在满足条件的点F;
(3)先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4,再求出抛物线y=-x2+x+4的顶点D(1,
),由点E在直线BC上,得到点E(1,3),于是DE=
-3=
.若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ,设点P的坐标是(m,-m+4),则点Q的坐标是(m,-
m2+m+4).分两种情况进行讨论:①当0<m<4时,PQ=(-
m2+m+4)-(-m+4)=-
m2+2m,解方程-
m2+2m=
,求出m的值,得到P1(3,1);②当m<0或m>4时,PQ=(-m+4)-(-
m2+m+4)=
m2-2m,解方程
m2-2m=
,求出m的值,得到P2(2+
,2-
),P3(2-
,2+
).
试题解析:(1)由抛物线经过点C(O,4)可得c=4,①
∵对称轴x= =1,∴b=-2a,②,
又抛物线过点A(一2,O)∴0=4a-2b+c,③
由①②③ 解得:a=, b=1 ,c=4.
所以抛物线的解析式是
(2)假设存在满足条件的点F,连接BF、CF、OF.
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G.
设点F的坐标为(t, +t+4),其中O<t<4, 则FH=
+t+4 FG=t,
∴=
OB.FH=
×4×(
+4t+4)=-
+2t+8 ,
=
OC.FC=
×4×t=2t
令-+4t+12 =17,即
-4t+5=0,则△= -4<0,
∴方程-4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F.
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O),又过点B(4,0), C(0,4)
所以,解得:
,
所以直线BC的解析式是y= -x+4.
由y=+4x+4=
+
,得D(1,
),
又点E在直线BC上,则点E(1,3),
于是DE=-3=
.
若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形,
因为DE∥PQ,只须DE=PQ,
设点P的坐标是(m,-m+4),则点Q的坐标是(m,-+m+4).
①当O<m<4时,PQ=(-+m+4)-(-m+4)= -
+2m.
由-+2m=
,解得:m=1或3.
当m=1时,线段PQ与DE重合,m=-1舍去,
∴m=-3,此时P1 (3,1).
②当m<0或m>4时,PQ=(-m+4)-(-++m+4)=
-2m,
由-2m=
,解得m=2±
,经检验适合题意,
此时P2(2+,2-
),P3(2-
,2+
).
综上所述,满足条件的点P有三个,分别是P1 (3,1),P2(2+,2 -
),P3(2-
,2+
)
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【题目】某校为改善办学条件,计划购进两种规格的书架,经市场调查发现有线下和线上两种方式,具有情况如下表:
规格 | 线下 | 线上 | ||
单价(元/个) | 运费(元/个) | 单价(元/个) | 运费(元/个) | |
A | 240 | 0 | 210 | 20 |
B | 300 | 0 | 250 | 30 |
(Ⅰ)如果在线下购买两种书架20个,共花费5520元,求
两种书架各购买了多少个;
(Ⅱ)如果在线上购买两种书架20个,共花费
元,设其中
种书架购买
个,求W关于
的函数关系式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若购买种书架的数量不少于
种书架的2倍,请求出花费最少的购买方案,并计算按照该购买方案线上比线下节约多少钱.