题目内容
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O做顺时针旋转，交AB于点D，过点C作CE∥AB，交直线于点E，设直线l的旋转角为α
（1）当α=30°时，求证：四边形EDBC是等腰梯形，并求出AD的长．
（2）若四边形EDBC是直角梯形，求α的度数和AD的长．
（3）当α=90°时，判断四边形EDBC是什么他特殊四边形．
（1）当α=30°时，求证：四边形EDBC是等腰梯形，并求出AD的长．
（2）若四边形EDBC是直角梯形，求α的度数和AD的长．
（3）当α=90°时，判断四边形EDBC是什么他特殊四边形．
分析：（1）过C作CF∥DE交AB于F，得出四边形CEDF是平行四边形，推出∠CFB=∠EDB，求出∠B=60°=∠CFB，推出BC=CF=4，求出DE=CF=4，在Rt△ACB中，求出AB=2BC=8，由勾股定理求出AC=4
，求出DO=2，根据等腰三角形性质求出AD=DO=2；
（2）过C作CF⊥AB于F，则∠BFC=90°，求出BF=
BC=2，由勾股定理求出CF=2
，推出四边形CEDF是矩形，求出DE=CF=2
，DO=OE=
DE=
，求出∠COE=∠DOA=60°，AO=2DO=2
，即可得出答案；
（3）四边形EDBC是菱形，理由是：求出四边形EDBC是平行四边形，求出DO=OE=
DE=2，在Rt△DOA中，求出AD=2DO=4，求出DB=BC=4，根据菱形的判定推出即可．
| 3 |
（2）过C作CF⊥AB于F，则∠BFC=90°，求出BF=
| 1 |
| 2 |
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| 2 |
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| 3 |
（3）四边形EDBC是菱形，理由是：求出四边形EDBC是平行四边形，求出DO=OE=
| 1 |
| 2 |
解答：解：
（1）如图1，
过C作CF∥DE交AB于F，
∵CE∥AB，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴∠CFB=∠EDB，
∵∠EDB=∠A+∠DOA=30°+30°=60°，
∴∠CFB=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°=∠CFB，
∴BC=CF=4，
∴DE=CF=4，
在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，由勾股定理得：AC=4
，
∴CE∥BC，O为AC中点，
∴△CEO∽△ADO，CO=AO，
∴
=
，
∴EO=DO，
∴DO=2，
∵∠DOA=∠A=30°，
∴AD=DO=2；
（2）如图2，
过C作CF⊥AB于F，
则∠BFC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=4，
∴BF=
BC=2，由勾股定理得：CF=2
，
∵CF⊥AB，
又∵四边形CEDB是直角梯形，
∴ED⊥AB，
∴CF∥DE，
∵CE∥AB，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE=CF=2
，
∴DO=OE=
DE=
，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=∠EDA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠COE=∠DOA=60°，
即α的度数是60°，
∵在Rt△ODA中，∠ODA=90°，∠A=30°，DO=
，
∴AO=2DO=2
，
由勾股定理得：AD=
DO=
×
=3．
（3）四边形EDBC是菱形，
理由是：如图3，
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∵CE∥BA，
∴四边形EDBC是平行四边形，
∴DE=BC=4，
∴DO=OE=
DE=2，
∵在Rt△DOA中，∠DOA=90°，DO=2，∠A=30°，
∴AD=2DO=4，
∴DB=AB-AD=8-4=4=BC，
∴平行四边形EDBC是菱形，
即四边形EDBC是菱形．
（1）如图1，过C作CF∥DE交AB于F，
∵CE∥AB，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴∠CFB=∠EDB，
∵∠EDB=∠A+∠DOA=30°+30°=60°，
∴∠CFB=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°=∠CFB，
∴BC=CF=4，
∴DE=CF=4，
在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，由勾股定理得：AC=4
| 3 |
∴CE∥BC，O为AC中点，
∴△CEO∽△ADO，CO=AO，
∴
| EO |
| OD |
| CO |
| AO |
∴EO=DO，
∴DO=2，
∵∠DOA=∠A=30°，
∴AD=DO=2；
（2）如图2，
过C作CF⊥AB于F，
则∠BFC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=4，
∴BF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∵CF⊥AB，
又∵四边形CEDB是直角梯形，
∴ED⊥AB，
∴CF∥DE，
∵CE∥AB，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE=CF=2
| 3 |
∴DO=OE=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=∠EDA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠COE=∠DOA=60°，
即α的度数是60°，
∵在Rt△ODA中，∠ODA=90°，∠A=30°，DO=
| 3 |
∴AO=2DO=2
| 3 |
由勾股定理得：AD=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（3）四边形EDBC是菱形，
理由是：如图3，
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∵CE∥BA，
∴四边形EDBC是平行四边形，
∴DE=BC=4，
∴DO=OE=
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∵在Rt△DOA中，∠DOA=90°，DO=2，∠A=30°，
∴AD=2DO=4，
∴DB=AB-AD=8-4=4=BC，
∴平行四边形EDBC是菱形，
即四边形EDBC是菱形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，直角梯形性质，相似三角形的性质和判定，菱形的判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
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