题目内容
如图,在矩形ABCD中,AB=18cm,BC=6cm,点P沿AB、BC边从点A→B→C方向以3cm/秒的速度移动,点Q沿DA、AB边从点D→A→B方向以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间.
(1)若t=1时,求△APQ的面积;
(2)当P在AB边上移动时,在△APQ中,若满足∠PQA>45°,求t的范围;
(3)若0≤t≤8,线段PQ和矩形两边所构成的三角形与△ABC何时能相似?请说明理由.
(1)若t=1时,求△APQ的面积;
(2)当P在AB边上移动时,在△APQ中,若满足∠PQA>45°,求t的范围;
(3)若0≤t≤8,线段PQ和矩形两边所构成的三角形与△ABC何时能相似?请说明理由.
分析:(1)根据t=1表示出DQ和AP的长,利用三角形的面积计算方法求得三角形的面积即可;
(2)表示出QA和AP,根据∠PAQ=45°,得到QA<AP,从而得到有关t的方程,求解即可;
(3)根据△PAQ与△ABC相似,分①
=
、②
=
和③
=
三种情况求得t值即可.
(2)表示出QA和AP,根据∠PAQ=45°,得到QA<AP,从而得到有关t的方程,求解即可;
(3)根据△PAQ与△ABC相似,分①
PA |
QA |
AB |
CB |
QA |
PA |
AB |
CB |
AQ |
CP |
AB |
CB |
解答:解:(1)当t=1秒时,DQ=t=1cm,AP=3t=3
∴S△APQ=
AQ×AP=
(6-1)×3=
(2)由已知,点Q、P同时出发,且分别到达A、B两点的时间均为6秒,
∵QA=6-t,AP=3t,
∴当点P在AB上移动时,Q在DA上移动,
要满足∠PAQ=45°,必有:QA<AP
即6-t<3t
解之,t<1.5
∴1.5<t<6;
(3)当0<t<6时,点P、Q分别在BC和AB上,要使△PAQ与△ABC相似,
必①
=
,即
=
,解之t=3秒
②
=
,即
=
,解之t=0.6秒
当6<t<8时,点P、Q分别在BC和AB上,要使△PBQ与△ABC相似,
必
=
,即
=
,解之t=7.8秒,
综上所述,当≤t≤8时,且点P,Q同时移动时t=3或0.6或7.8秒.
∴S△APQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
15 |
2 |
(2)由已知,点Q、P同时出发,且分别到达A、B两点的时间均为6秒,
∵QA=6-t,AP=3t,
∴当点P在AB上移动时,Q在DA上移动,
要满足∠PAQ=45°,必有:QA<AP
即6-t<3t
解之,t<1.5
∴1.5<t<6;
(3)当0<t<6时,点P、Q分别在BC和AB上,要使△PAQ与△ABC相似,
必①
PA |
QA |
AB |
CB |
3t |
6-t |
18 |
6 |
②
QA |
PA |
AB |
CB |
6-t |
3t |
18 |
6 |
当6<t<8时,点P、Q分别在BC和AB上,要使△PBQ与△ABC相似,
必
AQ |
CP |
AB |
CB |
t-6 |
24-3t |
18 |
6 |
综上所述,当≤t≤8时,且点P,Q同时移动时t=3或0.6或7.8秒.
点评:本题考查了相似三角形的综合应用,特别是本题中涉及到的动点问题和分类讨论问题,更是近几年中考的热点和难度考题,应加强训练.
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