Question

如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得：

a=- 1 2 b= 5 2

．
∴该抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则

n=-2 4m+n=0

，
解得：

m= 1 2 n=-2

，
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，S_最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

（3）存在．
如图2，设P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），则m＞1．
Ⅰ．当1＜m＜4时，
则AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

时，△APM∽△ACO．
∴4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），解得m₁=2，m₂=4（舍去）．
∴P₁（2，1）．
②当

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

时，△APM∽△CAO．
∴2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，解得m₃=4，m₄=5（均不合题意，舍去）．
∴当1＜m＜4时，P₁（2，1）．
Ⅱ．当m＞4时，同理可求P₂（5，-2）．
综上所述，符合条件的点P为P₁（2，1）和P₂（5，-2）．