题目内容
【题目】已知，如图（1），PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC2=PA×PB，
（1）求证：∠PCA=∠PBC；直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；
（3）如图（3），若⊙O的半径为 
，PO= 
，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+ 
QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
证明：∵PC2=PA×PB，
∴ 
，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC经过直径的一端点C，
∴直线PC是⊙O的切线
（2）
解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴ 
= 
，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE2=CE2+BC2=22+62=40，
∴BE=2 
，
∴R=
（3）
解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，
连接QO、QM，
∵MO=2，
∴OG= 
OM=1，
∵⊙O的半径r=OQ= 
，
∴OQ2=OGOM，
∵∠MOQ=∠QOG，
∴△MOQ∽△QOG，
∴ 
= 
，
∴QG= QM，
∴PQ+ QM=PQ+QG=PG，
根据两点之间线段最短，
此时PQ+ QM=PQ+QG=PG最小，
∴PQ+ QM最小值为PG= 
= 
= 
．
【解析】（1）根据已知条件得到 ，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到 = ，根据勾股定理得到BE=2 
，于是得到结论；（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG= OM=1，根据相似三角形的性质得到 = ，求得QG= QM，根据两点之间线段最短，即可得到结论．
