题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

(1)b= , c= , 点B的坐标为;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

【答案】
(1)﹣2;﹣3;(﹣1,0)
(2)

解:存在.

理由:如图所示:

①当∠ACP1=90°.

由(1)可知点A的坐标为(3,0).

设AC的解析式为y=kx﹣3.

∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0,解得k=1,

∴直线AC的解析式为y=x﹣3.

∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3.

∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1,x2=0(舍去),

∴点P1的坐标为(1,﹣4).

②当∠P2AC=90°时.

设AP2的解析式为y=﹣x+b.

∵将x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.

∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3.

∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),

∴点P2的坐标为(﹣2,5).

综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5)


(3)

解:如图2所示:连接OD.

由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.

根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.

由(1)可知,在Rt△AOC中,

∵OC=OA=3,OD⊥AC,

∴D是AC的中点.

又∵DF∥OC,

∴点P的纵坐标是

,解得:

∴当EF最短时,点P的坐标是:( )或(


【解析】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得: ,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
∴点B的坐标为(﹣1,0).
故答案为:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;(2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1 , P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;(3)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.

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