Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y= x2+bx+c中，

得 ，

解得

∴该抛物线的解析式为y= x2+x﹣4

（2）

解：令y=0，即 x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC= ABOC=12．

设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△BAC，

∴ ，即 ，

化简得：S△PBE= （2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE= PBOC﹣S△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）2

= x2﹣ x+

=﹣ （x+1）2+3

∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3

（3）

解：△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：

（I）当DM=DO时，如答图①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；

（III）当OD=OM时，

∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC的距离为 ×4= ，即AC上的点与点O之间的最小距离为 ．

∵ ＞2，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．