Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.

Answer 1

解：（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O
∴DF⊥DE
又∵AC∥DE
∴DF⊥AC
∴DF垂直平分AC    
（2）由（1）知：AG＝GC
又∵AD∥BC
∴∠DAG＝∠FCG
又∵∠AGD＝∠CGF
∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD＝FC    
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四边形ACED是平行四边形
∴AD＝CE  
∴FC＝CE   
（3）连结AO；

∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm
在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝
设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3
在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO²＝OG²+AG²
有：r²＝(r-3)²+4²解得 r＝ 
∴⊙O的半径为cm.

（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC；
（2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE；
（3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=