Question

已知二次函数y=a（x+1）²+2的图象与y轴的交点为（0，

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2

）．
（1）求该二次函数的关系式及二次函数图象与x轴的交点；
（2）求证：对任意实数b，点B（b，-b²）都不在这个二次函数的图象上．

Answer 1

分析：（1）首先把（0，

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）代入y=a（x+1）²+2求出a值，继而求出二次函数解析式；再令y=0进而求出二次函数图象与x轴的交点；
（2）把点B（b，-b²）代入已求出的二次函数的解析式中，得到关于b的一元二次方程，若方程有解则在二次函数的图象上；无解则不在这个二次函数的图象上．

解答：解：（1）把（0，

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）代入y=a（x+1）²+2得：

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2

=a（0+1）²+2，
∴a=-

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，
∴y=-

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（x+1）²+2，
令y=0，即0=-

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（x+1）²+2，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∴与x轴的交点为（-3，0）（1，0）；

（2）证明：若点B在这个二次函数的图象上，则-b²=-

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（b+1）²+2，
得b²-2b+3=0，
因为该方程根的判别式：4-12=-8＜0，方程无解，
所以，对任意实数b，点B（b，-b²）都不在这个二次函数的图象上．

点评：本题考查的是二次函数的有关性质，难度一般．还可以根据判别式△的值得出函数图象与x轴的交点的个数．