题目内容
如图,将边长为6的正方形ABCO放置在直角坐标系中,使点A在x轴负半轴上,点C在y轴正半轴上.点M(t,0)在x轴上运动,过A作直线MC的垂线交y轴于点N.
(1)当t=2时,tan∠NAO=______;
(2)在直角坐标系中,取定点P(3,8),则在点M运动过程中,当以M、N、C、P为顶点的四边形是梯形时,点M的坐标为______.
(1)当t=2时,tan∠NAO=______;
(2)在直角坐标系中,取定点P(3,8),则在点M运动过程中,当以M、N、C、P为顶点的四边形是梯形时,点M的坐标为______.
(1)∵AN⊥CM,
∴∠CMO+∠NAO=90°,
∵∠NAO+∠ANO=90°,
∴∠ANO=∠CMO,
∵四边形ABCO是正方形,
∴OA=OC,
在△AON和△COM中,
∵
,
∴△AON≌△COM(AAS),
∴ON=OM=2,
∴tan∠NAO=
=
=
;
(2)①如图①,当CN∥PM时,
∵P(3,8),
∴M1(3,0);
②如图②,
当PN∥CM时,
则∠PNH=∠MCO,
过点P作PH⊥ON于H,
则∠PHN=∠MOC=90°,
则△PHN∽△MOC,
故
=
,
设点M(a,0),则N(0,a)(a>0),
则NH=a-8,PH=3,OC=6,OM=a,
故
=
,
解得:a=4+
;
故M2(4+
,0);
如图③,当CM∥PN时,
则∠PNH=∠CMO,
过点P作PH⊥ON于H,
则∠PHN=∠COM=90°,
则△PHN∽△COM,
故
=
,
设点M(-b,0),则N(0,-b)(b>0),
则NH=3,PH=8+b,OC=6,OM=b,
则
=
,
解得:b=
-4;
故M2(4-
,0).
故点M的坐标为(3,0)或(4+
,0)或(4-
,0).
故答案为:(1)
;(2)(3,0)或(4+
,0)或(4-
,0).
∴∠CMO+∠NAO=90°,
∵∠NAO+∠ANO=90°,
∴∠ANO=∠CMO,
∵四边形ABCO是正方形,
∴OA=OC,
在△AON和△COM中,
∵
|
∴△AON≌△COM(AAS),
∴ON=OM=2,
∴tan∠NAO=
ON |
OA |
2 |
6 |
1 |
3 |
(2)①如图①,当CN∥PM时,
∵P(3,8),
∴M1(3,0);
②如图②,
当PN∥CM时,
则∠PNH=∠MCO,
过点P作PH⊥ON于H,
则∠PHN=∠MOC=90°,
则△PHN∽△MOC,
故
PH |
OM |
NH |
OC |
设点M(a,0),则N(0,a)(a>0),
则NH=a-8,PH=3,OC=6,OM=a,
故
3 |
a |
a-8 |
6 |
解得:a=4+
34 |
故M2(4+
34 |
如图③,当CM∥PN时,
则∠PNH=∠CMO,
过点P作PH⊥ON于H,
则∠PHN=∠COM=90°,
则△PHN∽△COM,
故
PH |
OC |
NH |
OM |
设点M(-b,0),则N(0,-b)(b>0),
则NH=3,PH=8+b,OC=6,OM=b,
则
8+b |
6 |
3 |
b |
解得:b=
34 |
故M2(4-
34 |
故点M的坐标为(3,0)或(4+
34 |
34 |
故答案为:(1)
1 |
3 |
34 |
34 |
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