题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AC的解析式为y=-
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x+2,直线AC交x轴于点C,交y轴于点A.
(1)若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合,直角顶点B在第一象限内,请直接写出点B的坐标;
(2)过点B作x轴的垂线l,在l上是否存在一点P,使得△AOP的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先根据直线AC的解析式为y=-
1
2
x+2求出A、C两点的坐标,故可得出OD的长,再过点B作BE⊥x轴于点E,再由锐角三角函数的定义即可求出BE的长,进而得出B点坐标;
(2)作点A关于直线l的对称点A′,连接OA′交直线l于点P,则点P即为所求点.
解答:解:(1)∵直线y=-
1
2
x+2交x轴于点C,交y轴于点A.
∴A(0,2),C(4,0),
如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,
∵△OBD是等腰直角三角形,
∴OE=
1
2
OD=
1
2
×4=2,
∴BE=OE•tan45°=2×1=2,
∴B(2,2);

(2)如图2所示,
∵B(2,2),
∴直线l的解析式为:x=2,
作点A关于直线l的对称点A′,连接OA′交直线l于点P,则点P即为所求点,
∵A(0,2),
∴A′(4,2),
设直线OA′的解析式为y=kx(k≠0),则2=4k,
解得k=
1
2

∴直线OA′的解析式为y=
1
2
x,
∴当x=2时,y=1,
∴P(2,1).
点评:本题考查的是一次函数综合题,涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等相关知识,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
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