Question

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，试求它们的长的和．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式与二次函数的定义解答即可；
（2）利用两点之间的距离公式以及根与系数的关系解答即可；
（3）顺次代入（2）中的通项，利用数的规律解决问题．

解答：解：（1）依题意a的取值必须满足

(2a+1)2-4a(a+1)＞0 a(a+1)≠0

，
解得a为不等于0和-1的任意实数；
（2）设A、B两点坐标为A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁，x₂是方程a（a+1）x²-（2a+1）x+1=0的两个不等实根，
则AB的长为|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

①
∵x1+x2=

2a+1

a(a+1)

，x1x2=

1

a(a+1)

，
代入①式得|AB|=

[ 2a+1 a(a+1) ]2- 4 a(a+1)

=

1

|a(a+1)|

；
∵a为正整数，
∴|AB|=

1

a(a+1)

；
（3）当a依次取1，2，…，2010时，所截得的线段长分别为|A1B1|=

1

1×2

，|A2B2|=

1

2×3

，…
，|A2010B2010|=

1

2010×2011

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2010×2011

，
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2010

-

1

2011

)，
=1-

1

2011

，
=

2010

2011

．

点评：此题考查二次函数图象与x轴交点坐标的特征、根与系数的关系、两点之间的距离公式以及运用数的规律灵活计算．