题目内容

【题目】

如图,ABC中,ACBC10cosC,点PAC边上一动点(不与点AC重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点DDECB于点E

1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.

2)连接BPDE于点F,设AP的长为xPF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.

3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HPBCcosC,则sinCsinC,即可求解;

2)首先证明PDBE,则,即:,即可求解;

3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AGEPBD,即:ABDB+ADAG+AD4,即可求解.

1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R

连接HP,则HPBCcosC,则sinC

sinC,解得:R

2)在ABC中,ACBC10cosC

APPDx,∠A=∠ABCβ,过点BBHAC

BHACsinC8

同理可得:CH6HA4AB4,则:tanCAB2

BP

DAx,则BD4x

如下图所示,PAPD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBAβ

tanβ2,则cosβsinβ

EBBDcosβ=(4x×4x

PDBE

,即:

整理得:y

3)以EP为直径作圆Q如下图所示,

两个圆交于点G,则PGPQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D

GD为相交所得的公共弦,

∵点Q是弧GD的中点,

DGEP

AG是圆P的直径,

∴∠GDA90°

EPBD

由(2)知,PDBC,∴四边形PDBE为平行四边形,

AGEPBD

ABDB+ADAG+AD4

设圆的半径为r,在ADG中,

AD2rcosβDGAG2r

+2r4,解得:2r

则:DG5010

相交所得的公共弦的长为5010

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