题目内容
【题目】
如图,△ABC中,AC=BC=10,cosC=,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.
(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.
(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=,则sinC=,sinC===,即可求解;
(2)首先证明PD∥BE,则,即:,即可求解;
(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=4,即可求解.
(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,
连接HP,则HP⊥BC,cosC=,则sinC=,
sinC===,解得:R=;
(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=,
设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,
则BH=ACsinC=8,
同理可得:CH=6,HA=4,AB=4,则:tan∠CAB=2,
BP==,
DA=x,则BD=4﹣x,
如下图所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,
tanβ=2,则cosβ=,sinβ=,
EB=BDcosβ=(4﹣x)×=4﹣x,
∴PD∥BE,
∴,即:,
整理得:y=;
(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,
两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,
GD为相交所得的公共弦,
∵点Q是弧GD的中点,
∴DG⊥EP,
∵AG是圆P的直径,
∴∠GDA=90°,
∴EP∥BD,
由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,
∴AG=EP=BD,
∴AB=DB+AD=AG+AD=4,
设圆的半径为r,在△ADG中,
AD=2rcosβ=,DG=,AG=2r,
+2r=4,解得:2r=,
则:DG==50﹣10,
相交所得的公共弦的长为50﹣10.