题目内容
【题目】婷婷在发现一个门环的示意图如图所示.图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心,OB为半径作⊙O,AQ切⊙O于点P,并交DE于点Q,若AQ=12cm,则该圆的半径为_____cm.
【答案】
【解析】
连接OB,OP,根据等腰三角形的性质得到OB⊥AC,根据切线的性质得到OP⊥AQ,设该圆的半径为r,得到OB=OP=r,根据等边三角形的性质得到AB=BC=CD=2r,AO=,求得AC=,根据三角函数的定义得到sin∠PAO=,过Q作QG⊥AC于G,过D作DH⊥QG于H,根据矩形的性质得到HG=CD,DH=CG,∠HDC=90°,根据勾股定理得到AG=,根据三角函数的定义即可得到结论.
解:连接OB,OP,
∵AB=BC,O为AC的中点,
∴OB⊥AC,
∵AQ是⊙O的切线,
∴OP⊥AQ,
设该圆的半径为r,
∴OB=OP=r,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAO=30°,
∴AB=BC=CD=2r,AO=,
∴AC=,
∴sin∠PAO=,
过Q作QG⊥AC于G,过D作DH⊥QG于H,
则四边形DHGC是矩形,
∴HG=CD,DH=CG,∠HDC=90°,
∴sin∠PAO=,∠QDH=120°﹣90°=30°,
∴QG=12,
∴AG=,
∴QH=12﹣2r,DH=,
∴tan∠QDH=tan30°=,
解得r=,
∴该圆的半径为cm,
故答案为:.
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