题目内容

【题目】如图1.在△ABCACB=90°AC=BC=B为圆心、1为半径作圆设点P为⊙B上一点线段CP绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD连接DAPDPB

1求证AD=BP

2DP与⊙B相切则∠CPB的度数为      

3如图2BPD三点在同一条直线上时BD的长

4BD的最小值为      BD的最大值为      

【答案】1)答案见解析;(2CPB=45°或135°;(3;(413

【解析】分析: (1)根据SAS即可证明△ACD≌△BCP,再根据全等三角形的性质可得AD=BP;

(2)利用切线的性质结合等腰直角三角形得出即可;

(3)当B、P、D三点在同一条直线上时利用勾股定理,可得BD的长;

(4)当∠PBC=45°时,BD有最小值;进而得出BD有最大值.

详解: (1)证明:如图1,

∵∠ACB=90°,∠DCP=90°,

∴∠ACD=∠BCP

在△ACD与△BCP中,

AC=BC

∠ACD=∠BCP

CD=CP

∴△ACD≌△BCP(SAS)

∴AD=BP;

(2)解:如图2,

∵CP=CD,DP是⊙B的切线,∠PCD=90°,

∴∠BPD=90°,∠ADP=∠APD=45°,

∴∠CPB=45°+90°=135°,

同理可得:∠CPB=45°

故∠CPB=45°或135°;

故答案为:故∠CPB=45°或135°;

(3)解:∵△CDP为等腰直角三角形,

∴∠CDP=∠CPD=45°,∠CPB=135°,

由(1)知,△ACD≌△BCP,

∴∠CDA=∠CPB=135°,AD=BP=1,

∴∠BDA=∠CDA∠CDP=90°,

RtABC中,AB==2,

BD=

(4)解:如图3,

B、D、A三点在同一条直线上时,BD有最小值,

由(1)得△ACD≌△BCP,

此时∠PBC=45°时,BD的最小值为1;

同理可得:如图4,

B、D、A三点在同一条直线上时,

由(1)得△ACD≌△BCP,BD的最大值为:AB+AD=AB+BP=3.

故答案为:1,3.

点睛: 此题考查了圆的综合题,涉及的知识有全等三角形的判定与性质,分类思想的运用,最大值与最小值,注意分析问题要全面,以免漏解,有一定的难度.

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