题目内容
【题目】如图，
和
是两个全等的等腰直角三角形，
，的顶点E与的斜边BC的中点重合
将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
如图
，当点Q在线段AC上，且
时，
和
的形状有什么关系，请证明；
如图
，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；
当
，
时，求P、Q两点间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
∽
．理由见解析；（3）
．
【解析】
（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到
=
，进而得到BE=CE=
，BC=
，最后根据勾股定理，求得
△APQ中，PQ=
.
≌
．
理由
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是BC的中点，
，
在和中，
，
≌
；
∽．
理由：和
是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即
，
，
，
，
∽；
如图
，连结PQ，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，，
，
，
，
在
中，
．
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