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(2013年四川绵阳14分)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:

(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,SAGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.
解:(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E,

∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点。
∴DE是中位线。∴DE∥AC,且DE=AC。
∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE。

∵AD=AO+OD,

(2)答:点O是△ABC的重心。证明如下:
如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,

则点Q为△ABC的重心。
由(1)可知,  ,

∴点Q与点O重合(是同一个点)。
∴点O是△ABC的重心。
(3)如答图3所示,连接DG.

设SGOD=S,由(1)知,即OA=2OD,
∴SAOG=2S,SAGD=SGOD+SAGO=3S。
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则SBGD=3xS.
∴SABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=(3x+3)S。
∴SABC=2SABD=(6x+6)S。
设OH=k•OG,由SAGO=2S,得SAOH=2kS,
∴SAGH=SAGO+SAOH=(2k+2)S。
∴S四边形BCHG=SABC﹣SAGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S。
 ①。
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE。
∵OF∥BC,∴。∴OF=CD=BC。
∵GE∥BC,∴。∴
,∴
∵OF∥GE,∴。∴,即
,代入①式得:

∴当x=时,有最大值,最大值为
(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论。
(2)如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知,,而已知,故点O与点Q重合,即点O为△ABC的重心。
(3)如答图3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值。
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