题目内容
【题目】已知:在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,则请你判断线段AD与OM之间的数量关系,并加以证明.
(2)如图2,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.
【答案】(1)OM= ,理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3)不变化,理由见解析
【解析】分析:(1)AD与OM之间的数量关系为AD=2OM;
(2)(1)中的结论仍然成立,理由为:如图2所示,延长BO到F,使FO=BO,连接CF,由M、O分别为BC、BF的中点,得到OM为三角形BCF的中位线,利用中位线定理得到FC=2OM,利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等,利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD,等量代换得到AD=2OM;
(3)(1)中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化,理由为:如图3所示,延长DC交AB于E,连结ME,过点E作EN⊥AD于N,由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度,进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形,根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN,再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形,可得出EN=OM,等量代换得到AD=2OM.
详解:(1)线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM;
(2)(1)的结论仍然成立,理由为:
证明:如图2,延长BO到F,使FO=BO,连结CF.
∵M为BC中点,O为BF中点,∴MO为△BCF的中位线,∴FC=2OM.
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°,∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC,即∠AOD=∠FOC.在△AOD和△FOC中, ,∴△AOD≌△FOC(SAS),∴FC=AD,∴AD=2OM.
(3)(1)中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化,理由为:
证明:如图3,延长DC交AB于E,连结ME,过点E作EN⊥AD于N.
∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°,∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°,∴DN=AN,∴AD=2NE.
∵M为BC的中点,∴EM⊥BC,∴四边形ONEM是矩形,∴NE=OM,∴AD=2OM.
故答案为:AD=2OM.
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