Question

【题目】如图，以ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．

（1）求证：ABCD是菱形；

（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到结论；

（2）如图，连接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到结论．

（1）证明：如图，连接OE，

∵EG是⊙O的切线，

∴OE⊥EG，

∵EG⊥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OE∥CD∥AB，

∴∠CEO＝∠CAB，

∵OC＝OE，

∴∠CEO＝∠ECO，

∴∠ACB＝∠CAB，

∴AB＝BC，

∴ABCD是菱形；

（2）如图，连接BD，

由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，

∴AE＝CE，

∴CE：AC＝1：2，

∴点E是AC的中点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD经过点E，

∵BC是⊙O的直径，

∴BF⊥CD，

∵EG⊥CD，

∴EG∥BF，

∴△DGE∽△DFB，

∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，

∴DF＝2，BF＝4，

在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，

由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，

解得：x＝3，

∴CF＝3．