Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．

(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE²－CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

（1）5  （2）①存在k＝3  ②

分析：(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；
②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，从而得到CF²，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解：(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝，
即sin60°＝＝，解得CE＝5；
(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，
∴AF＝FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，
∵CE⊥AB，
∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，
∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，
∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，
∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，
在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，
又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，
∴∠CFD＝∠AEF，
∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，
因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；
②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，
∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，
在Rt△BCE中，CE²＝BC²－BE²＝100－x²，
在Rt△CEG中，CG²＝EG²＋CE²＝(10－x)²＋100－x²＝200－20x，
∵CF＝GF(①中已证)，
∴CF²＝＝CG²＝(200－20x)＝50－5x，
∴CE²－CF²＝100－x²－50＋5x
＝－x²＋5x＋50＝－＋50＋，
∴当x＝，即点E是AB的中点时，
CE²－CF²取最大值，
此时，EG＝10－x＝10－＝，
CE＝＝＝，
所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.