题目内容

【题目】在等边△AOB中,将扇形COD按图1摆放,使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边△AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC、BD也随之变化,设旋转角为α.(0<α≤360°)
(1)当OC∥AB时,旋转角α=度;
(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图2给出证明.
(3)当A、C、D三点共线时,求BD的长.
(4)P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出线段PC的最大值与最小值.

【答案】
(1)60或240
(2)解:结论:AC=BD,理由如下:

如图2中,

∵∠COD=∠AOB=60°,

∴∠COA=∠DOB,

在△AOC和△BOD中,

∴△AOC≌△BOD,

∴AC=BD


(3)解:①如图3中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.

在Rt△COH中,∵OC=1,∠COH=30°,

∴CH=HD= ,OH=

在Rt△AOH中,

AH= =

∴BD=AC=CH+AH=

如图4中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.

易知AC=BD=AH﹣CH=

综上所述,当A、C、D三点共线时,BD的长为


(4)解:如图5中,由题意,点C在以O为圆心,1为半径的⊙O上运动,过点O作OH⊥AB于H,直线OH交⊙O于C′、C″,线段CB的长即为PC的最大值,线段C″H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值= ﹣1.


【解析】解:(1)如图1中,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠AOB=∠COD=60°,
∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时,OC∥AB,
此时旋转角α=60°或240°.
所以答案是60或240;

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