题目内容
【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,点P是⊙O上不与A,B重合的一个动点,延长PA到C,使AC=AP,点D为⊙O上一点,且满足AD∥PB,射线CD交PB延长线于点E.
(1)求证:△PAB≌△ACD;
(2)填空:
①若AB=6,则四边形ABED的最大面积为 ;
②若射线CD与⊙O的另一个交点为F,则当∠PAB的度数为 时,以O,A,D,F为顶点的四边形为菱形.
【答案】(1)证明详见解析;(2)①18;②30°.
【解析】
试题分析:(1)连接BD,先判断出四边形ADBP矩形,得出AD=PB,再用SAS得出△PAB≌△ACD;
(2)①先判断出四边形ADEB是平行四边形,而AB是定值,要四边形ADEB面积最大,只有点D到AB的距离最大,最大为圆的半径,最后根据三角形面积公式计算即可;
②要使四边形OADF是菱形,即OA=AD,得出三角形AOD是等边三角形,即∠OAD=60°即可.
试题解析:(1)如图1,连接,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠APB=∠ADB=90°,
∵AD∥PB,
∴∠CAD=∠APB=90°,
∴∠PAD=90°
∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°,
∴四边形ADBP是矩形,
∴AD=PB,
在△PAB≌和△ACD中,
AC=AP,∠CAD=∠APB,AD=PB,
∴△PAB≌△ACD;
(2)①由(1)知,AD=PB
∵AD∥PB,AC=AP,
∴AD=PE=(PB+BE),
∴PB=EB,
∴AD=BE,
∵AD∥PB,
∴四边形ADEB是平行四边形,
∵AB是⊙O的直径,不变,
∴直线CD和⊙O相切时,即:点D到直径AB的等于半径时,四边形ABED的最大,
∵AB=6
∴S四边形ABED的最大=AB×AB=18,
故答案为:18;
②由①知,四边形ADEB是平行四边形,
∴OA∥DF,
∵以O,A,D,F为顶点的四边形为菱形,
∴OA=AD=DF,
∴∠BAD=60°,
∵∠PAD=90°,
∴∠PAB=30°,
故答案为:30°.