题目内容

【题目】已知:如图,AB为O的直径,点P是O上不与A,B重合的一个动点,延长PA到C,使AC=AP,点D为O上一点,且满足ADPB,射线CD交PB延长线于点E.

(1)求证:PAB≌△ACD;

(2)填空:

若AB=6,则四边形ABED的最大面积为

若射线CD与O的另一个交点为F,则当PAB的度数为 时,以O,A,D,F为顶点的四边形为菱形.

【答案】(1)证明详见解析;(2)18;30°.

【解析】

试题分析:(1)连接BD,先判断出四边形ADBP矩形,得出AD=PB,再用SAS得出PAB≌△ACD;

(2)先判断出四边形ADEB是平行四边形,而AB是定值,要四边形ADEB面积最大,只有点D到AB的距离最大,最大为圆的半径,最后根据三角形面积公式计算即可;

要使四边形OADF是菱形,即OA=AD,得出三角形AOD是等边三角形,即OAD=60°即可.

试题解析:(1)如图1,连接,BD,

AB为O的直径,

∴∠APB=ADB=90°,

ADPB,

∴∠CAD=APB=90°,

∴∠PAD=90°

∴∠APB=ADB=PAD=90°,

四边形ADBP是矩形,

AD=PB,

PABACD中

AC=AP,CAD=APB,AD=PB,

∴△PAB≌△ACD

(2)由(1)知,AD=PB

ADPB,AC=AP,

AD=PE=(PB+BE),

PB=EB,

AD=BE,

ADPB,

四边形ADEB是平行四边形,

AB是O的直径,不变,

直线CD和O相切时,即:点D到直径AB的等于半径时,四边形ABED的最大,

AB=6

S四边形ABED的最大=AB×AB=18,

故答案为18;

知,四边形ADEB是平行四边形,

OADF,

以O,A,D,F为顶点的四边形为菱形,

OA=AD=DF,

∴∠BAD=60°,

∵∠PAD=90°,

∴∠PAB=30°,

故答案为30°.

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