Question

如图，抛物线经过A、C（0，4）两点，与x轴的另一交点是B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥BC于点E,反比例函数的图象经过点E，点在此反比例函数图象上，求的值．

Answer 1

（1）；（2）（0，1）；（3）.

解析试题分析：（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式即可.
（2）首先求出D点坐标，进而求出∠DCB=45°=∠BCD，则点D′在y轴上，且CD=CD′=3，即可得出D′点坐标.
（3）首先利用D，D′点坐标得出E点坐标，即可得出反比例函数解析式，进而得出的值．
试题解析：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴，解得：.
∴抛物线的解析式为：.
（2）令，解得，
∴点B（0，4），OB=4.
∵点在第一象限的抛物线上，
∴，解得：a₁=3，a₂=-1.
∵点在第一象限，∴a₂=-1不合题意舍去．∴a=3.
∴点D（3，4）.
∵C（0，4），∴CD∥x轴，CD=3.
∵OC=4，OB=4，∴∠DCB=45°=∠BCD.
∴点D′在y轴上，且CD=CD′=3.
∴点D′（0，1）.

（3）∵点D（3，4），点D′（0，1），∴点E.
∴反比例函数解析式为：.
∵点F在反比例函数图象上，∴m≠0.
∴，即.
∴.
考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的性质；5.求代数式的值．