Question

【题目】如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙的切线。

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据直径得出半径的长度，然后根据弧长的计算公式进行求解；（2）、根据垂直得出∠ADO=∠PEO，对顶角相等，半径相等得出△ADO和△PEO全等，从而得出OD=OE；（3）连接PC，根据直径得出∠ABC=90°，从而说明PD∥BC，根据已知条件结合（2）得出△PCE和△PFC全等，从而说明∠OPF=90°，得出切线.

试题解析：（1）由直径AC=12得半径OC=6

劣弧PC的长为

（2）∵ OD⊥AB，PE⊥AC

∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP

∴ △ADO≌△PEO

∴ OD=OE

（3）连接PC，由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB，

∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE

由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE

∴ EC=FC

由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF

在△PCE和△PFC中，EC=FC

∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC

∴ ∠PFC =∠PEC=90°

由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切线