Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，点O在AB上，经过A、D两点的⊙O交AB于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）要证明BC是⊙O的切线只要证明OD⊥BC即可；
（2）由勾股定理可求得AB的长，过C作CH⊥AB于H，从而可求得CH的值．再利用三角形的面积公式S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC可求得半径的长．

解答：证明：（1）连接OD，（1分）
∵∠BAC的平分线AD交BC于D，
∴∠OAD=∠CAD；
又∵∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CDA，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，（3分）
∴BC是⊙O的切线．（4分）

解：（2）∵AC=6，BC=8，
∴AB=10；
过C作CH⊥AB于H，
则CH=

AC•BC

AB

=

24

5

，（5分）
连接OC，设⊙O的半径为r；
则S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=

1

2

BC•r+

1

2

r•CH，（6分）
∴24=

1

2

(8+

24

5

)r，
∴r=

15

4

．（8分）

点评：本题考查的是切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．