题目内容
【题目】如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,已知∠B=45°,tan∠ACB=3,AC=,求:
(1)△ABC的面积;
(2)sin∠ACD的值.
【答案】(1)6;(2).
【解析】
试题分析:(1)作AH⊥BC于H,如图,在Rt△ACE中,利用正切的定义得到tan∠ACE==3,则设CH=x,AH=3x,根据勾股定理得AC=x,利用x=,解得x=1,再在Rt△ABH中,利用∠B=45°得到BH=AH=3,然后根据三角形面积公式求解;
(2)作DF⊥BC于F,如图,由于CD是AB边上的中线,根据三角形面积公式得到S△ACD=S△ABC=6,再证明DF为△AB的中位线,则DF=AH=,易得BF=DF=,接着根据勾股定理计算出CD=,然后利用锐角三角函数得出sin∠ACD的值.
试题解析:(1)如图,
(1)作AH⊥BC于H,
在Rt△ACH中,
∵tan∠ACB=3,AC=,
设CH=x,AH=3x,
根据勾股定理得AC=x,
∴CH=1,AH=3,
在Rt△ABH中,∠B=45°,
∴BH=AH=3,
∴S△ABC=×4×3=6;
(2)作DF⊥BC于F,
∵S△ACD=××DE=3,
∴DE=,
∵AH⊥BC,DF⊥BC,CD是AB边上的中线,
∴DF=AH=,
∴BF=DF=,
在Rt△CDF中,CD=,
∴在Rt△CDE中,sin∠ACD=.
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