Question

已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O₁，如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O₁，O₂…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
（2）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
（3）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．

解答：解：∵∠BAC=100°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=40°，
∴∠BOC=140°．

（2）∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=

80

3

°，
∴∠BOC=

460

3

°．

（3）∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=

80

n

°，
∴∠BOC=180°-

80

n

°．
当∠BOC=170°时，是八等分线的交线所成的角．

点评：此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的应用，要熟记三角形的内角和为180°．