Question

如图所示，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0<t<2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer 1

解（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90º.

∵∠ABC＝60º，∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º.

∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直径为4cm．

（2）如图1，连结OC.

∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥CO, ∴∠OCD＝90º.

∵∠BAC＝ 30º，∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º.

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º  ∴OD＝2OC＝4cm.

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）.

∴当BD长为2cm时，CD与⊙O相切．

（3）根据题意，得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图2，当∠ＥＦＢ＝90º时，△BEF为直角三角形，

∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，∴△BEF∽△BAC.

∴，即.解得t＝1.

如图3，当∠ＦＥＢ＝90º时，△BEF为直角三角形，

∵∠ＦＥＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA.

∴，即.解得t＝1.6.

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．