Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交与点O，AD与BC交与点P，BE与CD交与点Q，连接PQ．有下列结论：①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP，其中正确的结论有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：根据等边三角形性质得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判断①；根据全等三角形性质得出∠CBE=∠CAD，根据ASA证△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判断②；求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判断③；根据三角形外角性质推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判断④．
解答：∵△ABC和△DCE是正三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∴①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，∴②正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，
∴∠CAD+∠BEC=60°，
∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正确；
∵△DCE是正三角形，
∴DE=DC，
∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB，
∴∠DPC＞∠DCP，
∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；
故选A．
点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．