题目内容
【题目】(2016四川省乐山市第26题)如图1,二次函数的图象与轴分别交于A、B两点,与轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程的两根为-8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结,求△PEF周长的最小值.
【答案】(1);(2)①;②不变,理由见试题解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)由与轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,可得点A、点B的坐标,即可得到OB的长,又由tan∠ABC=3,得到点C(0,-6),将 A、B、C的坐标代入二次函数中,即可得到二次函数解析式;
(2)①如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,故P的运动路程为△ABC的中位线HK,在Rt△BOC中,由勾股定理得到BC的长,再由三角形中位线定理可得到HK的长,即P的运动路程;
②∠EPF的大小不会改变.由于,P为Rt△AED斜边AD的中点,故PE=AD=PA,从而∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF,即可得到∠EPF=2∠EAF,故∠EPF的大小不会改变;
(3)设△PEF的周长为C,则=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PG⊥EF于点G,得到∠EPG=∠EPF=∠BAC,由于tan∠BAC=,故tan∠EPG=,得到EG=PE,EF=PE=AD,从而有=AD+EF=AD=AD,又当AD⊥BC时,AD最小,此时最小,由=30,得到AD=,从而得到最小值.
试题解析:(1)∵函数的图象与轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,∴A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,又∵tan∠ABC=3,∴OC=6,即C(0,-6),将 A(-8,0)、B(2,0)代入中,解得:,,∴二次函数解析式为:;
(2)①如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,∴P的运动路程为△ABC的中位线HK,∴HK=BC,在Rt△BOC中,OB=2,OC=6,∴BC=,∴HK=,即P的运动路程为;
②∠EPF的大小不会改变.理由如下:
∵DE⊥AB,∴在Rt△AED中,P为斜边AD的中点,∴PE=AD=PA,∴∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF,∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),即∠EPF=2∠EAF,又∵∠EAF大小不变,∴∠EPF的大小不会改变;
(3)设△PEF的周长为C,则=PE+PF+EF,∵PE=AD,PF=AD,∴=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PG⊥EF于点G,∴∠EPG=∠EPF=∠BAC,∵tan∠BAC=,∴tan∠EPG=,∴EG=PE,EF=PE=AD,∴=AD+EF=AD=AD,又当AD⊥BC时,AD最小,此时最小,∵=30,∴BC·AD=30,∴AD=,∴最小值为:AD=.