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【题目】(2016四川省乐山市第26题)如图1,二次函数的图象与轴分别交于A、B两点,与轴交于点C.若tanABC=3,一元二次方程的两根为-8、2.

(1)求二次函数的解析式;

(2)直线绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,与线段BC交于点D,P是AD的中点.

求点P的运动路程;

如图2,过点D作DE垂直轴于点E,作DFAC所在直线于点F,连结PE、PF,在运动过程中,EPF的大小是否改变?请说明理由;

(3)在(2)的条件下,连结,求PEF周长的最小值.

【答案】(1);(2)不变,理由见试题解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)由轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,可得点A、点B的坐标,即可得到OB的长,又由tanABC=3,得到点C(0,-6),将 A、B、C的坐标代入二次函数中,即可得到二次函数解析式;

(2)如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,故P的运动路程为ABC的中位线HK,在RtBOC中,由勾股定理得到BC的长,再由三角形中位线定理可得到HK的长,即P的运动路程;

②∠EPF的大小不会改变由于,P为RtAED斜边AD的中点,故PE=AD=PA,从而PAE=PEA=EPD,同理有PAF=PFA=DPF,即可得到EPF=2EAF,故EPF的大小不会改变;

(3)设PEF的周长为C,则=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PGEF于点G,得到EPG=EPF=BAC,由于tanBAC=,故tanEPG=,得到EG=PE,EF=PE=AD,从而有=AD+EF=AD=AD,又当ADBC时,AD最小,此时最小,由=30,得到AD=,从而得到最小值

试题解析:(1)函数的图象与轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,又tanABC=3,OC=6,即C(0,-6),将 A(-8,0)、B(2,0)代入中,解得:二次函数解析式为:

(2)如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,P的运动路程为ABC的中位线HK,HK=BC,在RtBOC中,OB=2,OC=6,BC=HK=,即P的运动路程为

②∠EPF的大小不会改变理由如下:

DEAB,在RtAED中,P为斜边AD的中点,PE=AD=PA,∴∠PAE=PEA=EPD,同理可得:PAF=PFA=DPF,∴∠EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF),即EPF=2EAF,又∵∠EAF大小不变,∴∠EPF的大小不会改变;

(3)设PEF的周长为C,则=PE+PF+EF,PE=AD,PF=AD,=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PGEF于点G,∴∠EPG=EPF=BAC,tanBAC=tanEPG=EG=PE,EF=PE=AD,=AD+EF=AD=AD,又当ADBC时,AD最小,此时最小,=30,BC·AD=30,AD=最小值为:AD=

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