题目内容
已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+3(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=-1(如图1).(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)P是y轴上一点,若△PBC与△BOC相似,求点P的坐标;
(3)连接AD、BD(如图2),点M是AD上的一个动点,过点M作MN∥AB交BD于点N,把△DMN沿MN折叠得△D′MN,设△D′MN与△ABD的重叠部分的面积为S,请探究:S的最大值.
分析:(1)根据其对称轴为x=-1,求得a的值,代入函数关系式即可求得其顶点坐标;
(2)设出p点的坐标,利用两三角形相似得到有关的方程,解得后即可求得p点的坐标;
(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,求得线段DA的长,分当0≤x≤
时和当
<x≤2
时两种情况求得重叠部分的最大面积即可.
(2)设出p点的坐标,利用两三角形相似得到有关的方程,解得后即可求得p点的坐标;
(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,求得线段DA的长,分当0≤x≤
5 |
5 |
5 |
解答:解:(1)由题意可得:-
=-1
∴a=-1,
则y=-x2-2x+3
∴y=-(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标是(-1,4);
(2)∵P是y轴上一点,
∴设点P的坐标为(0,y)
又∵∠COB=90°,∠PCB≠90°
∴⒈当∠CPB=90°=∠COB 则点P的坐标为(0,0)此时△CPB∽△COB,
⒉当∠CBP=90°=∠COB时,则△CBP∽△COB,
∴∠OCB=∠PBO,
∴△COB∽△BOP,
∴
=
--------------(7分)
又∵y=-x2-2x+3,
∴点C坐标是(0,3)、点B的坐标是(1,0)
∴
=
,
∴PO=
∴点P的坐标是(0,-
)-------------(9分)
(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,
∵点D(-1,4)
∴DA=2
①当0≤x≤
时(图1),S=S△D/MN
由折叠可知,S△D/MN=S△DMN=
MN•DF
∵MN∥AB,
∴△DMN∽△DAB
∴
=
=
即
=
=
,
∴DE=MN=
x
∴S=
•
x•
x=
x2------------------(10分)
∴当x=
时,Smax=2;--------------------(11分)
②当
<x≤2
时,如图2,则S=S梯形MNGK
由折叠可知:∠DMN=∠D′MN,
又∵MN∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=2
-x
∴D/K=x-(2
-x)=2x-2
由△D′KG∽△D′MN得,
=
∴KG=
x-4
又∵DF=MN=
x
∴EF=4-
x
∴S=
(
x-4+
x)(4-
x)=-
x2+
x-8------------(12分)
∴-
=
=
又∵a=-
<0,x=
在
<x≤2
范围内
∴当x=
时 Smax=
,------------------------------------(13分)
综合上面分析可知:S的最大值是
.------------------------------(14分)
-2 |
2a |
∴a=-1,
则y=-x2-2x+3
∴y=-(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标是(-1,4);
(2)∵P是y轴上一点,
∴设点P的坐标为(0,y)
又∵∠COB=90°,∠PCB≠90°
∴⒈当∠CPB=90°=∠COB 则点P的坐标为(0,0)此时△CPB∽△COB,
⒉当∠CBP=90°=∠COB时,则△CBP∽△COB,
∴∠OCB=∠PBO,
∴△COB∽△BOP,
∴
CO |
BO |
BO |
PO |
又∵y=-x2-2x+3,
∴点C坐标是(0,3)、点B的坐标是(1,0)
∴
3 |
1 |
1 |
PO |
∴PO=
1 |
3 |
∴点P的坐标是(0,-
1 |
3 |
(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,
∵点D(-1,4)
∴DA=2
5 |
①当0≤x≤
5 |
由折叠可知,S△D/MN=S△DMN=
1 |
2 |
∵MN∥AB,
∴△DMN∽△DAB
∴
DF |
DE |
MN |
AB |
DM |
DA |
即
DE |
4 |
MN |
4 |
x | ||
2
|
∴DE=MN=
2
| ||
5 |
∴S=
1 |
2 |
2
| ||
5 |
2
| ||
5 |
2 |
5 |
∴当x=
5 |
②当
5 |
5 |
由折叠可知:∠DMN=∠D′MN,
又∵MN∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=2
5 |
∴D/K=x-(2
5 |
5 |
由△D′KG∽△D′MN得,
D/K |
D/M |
KG |
MN |
∴KG=
4
| ||
5 |
又∵DF=MN=
2
| ||
5 |
∴EF=4-
2
| ||
5 |
∴S=
1 |
2 |
4
| ||
5 |
2
| ||
5 |
2
| ||
5 |
6 |
5 |
16
| ||
5 |
∴-
b |
2a |
4
| ||
3 |
4ac-b2 |
4a |
8 |
3 |
又∵a=-
6 |
5 |
4
| ||
3 |
5 |
5 |
∴当x=
4
| ||
3 |
8 |
3 |
综合上面分析可知:S的最大值是
8 |
3 |
点评:本题主要考查了二次函数的性质,三角形相似的性质,梯形的面积公式,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点,能综合运用这些知识解题是解决本题的关键.难点是(3)小题的求法,巧妙地运用了分类讨论思想.
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