题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣2,0),

B(4,0)与y轴交于点C.

(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(Ⅱ)求BCD的面积;

(Ⅲ)若直线CD交x轴与点E,过点B作x轴的垂线,交直线CD与点F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度(直接写出结果,不写求解过程).

【答案】(抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,顶点D(1,9);)6;()72.

【解析】

试题分析:()利用待定系数法求出抛物线的解析式,通过对解析式进行配方能得到顶点D的坐标;

)先求出直线BC解析式,进而用三角形的面积公式即可得出结论.

)首先确定直线CD的解析式以及点E,F的坐标,若抛物线向上平移,首先表示出平移后的函数解析式;当x=8时(与点E横坐标相同),求出新函数的函数值,若抛物线与线段EF有公共点,那么该函数值应不大于点E的纵坐标.当x=4时(与点F的横坐标相同),方法同上,结合上述两种情况,即可得到函数图象的最大平移单位.

试题解析:(Ⅰ)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:

,解得

抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,顶点D(1,9);

(Ⅱ)如图1,

抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+8,

C(0,8),

B(4,0),

直线BC解析式为y=﹣2x+8,

直线和抛物线对称轴的交点H(1,6),

SBDC=SBDH+SDHC=×3×1+×3×3=6.

(Ⅲ)如图2,

C(0,8),D(1,9);

代入直线解析式y=kx+b,

解得:

y=x+8,

E点坐标为:(﹣8,0),

B(4,0),

x=4时,y=4+8=12

F点坐标为:(4,12),

设抛物线向上平移m个单位长度(m>0),

则抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+9+m;

当x=﹣8时,y=m﹣72,

当x=4时,y=m,

m﹣72≤0 m≤12,

0<m≤72,

抛物线最多向上平移72个单位

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