题目内容
【题目】如图，在ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
.
【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BE，由AE∶AD＝4∶5，求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，
∴∠C＝∠AFB，
∴△ABF∽△BEC.
(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE＝90°.
∵AD＝5， AE∶AD＝4∶5，
∴AE＝AD×
＝5×＝4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
BE＝
＝
＝4.
在ABCD中，BC＝AD＝5.
由(1)得△ABF∽△BEC，
∴
＝
，即
＝
，
∴AF＝2.
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