题目内容
【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△AMD和△DMN的面积相等，其中错误的结论个数是（ ）
A.3个B.2个C.1个D.0个
【答案】D
【解析】
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=
∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；证出△ADN≌△BFD，可判断②；证△ABF≌△ACN，可判断③；求出∠BAN=∠BNA =67.5°，可得BA=BN，根据等腰三角形三线合一得AM=MN，可判断④．
解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC =22.5°
∵AB⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEB=67.5°，∠BFD=67.5°=∠AFE
∴∠AFE=∠AEB
∴AF=AE
故①正确；
∵M是EF的中点，AE=AF
∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=22.5°
∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD
∴△ADN≌△BDF
∴DF=DN
故②正确；
∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°
∴△ABF≌△ACN
∴AF=CN，
∵AE=AF
∴AE=CN
故③正确；
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN=67.5°，∠BNA=∠ACB+∠NAC=67.5°
∴∠BAN=∠BNA
∴BA=BN
∵BE平分∠ABC
∴AM=MN
∴△AMD和△DMN的面积相等
故④正确.
错误的结论个数是0，
故选：D．
