题目内容

(2011•湛江)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.
(1)求证:直线BD与⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.
解:(1)证明:连接OD,

∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
又∵∠A+∠CDB=90°,
∴∠ADO+∠CDB=90°,
∴∠ODB=180°﹣(∠ADO+∠CDB)=90°,
∴BD⊥OD,
∴BD是⊙O切线;
(2)连接DE,
∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,
又∵∠C=90°,
∴∠ADE=∠C,
∴DE∥BC,
又∵D是AC中点,
∴AD=CD,
∴AD:CD=AE:BE,
∴AE=BE,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,
∴AD:AE=AC:AB,
∴AC:AB=4:5,
设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,
∴BC:AB=3:5,
∵BC=6,
∴AB=10,
∴AE=AB=10.
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