Question

【题目】在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．

（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）

（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．

【解析】

（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多项式即可求得m、n

（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），

当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，

∴可以形成的数字密码是：212814、211428；

（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），

∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，

∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，

解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，

∴ 得，

即m的值是56，n的值是17．