题目内容
如图，在直角坐标系中，点C（
，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒
个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒。
（1）求出点B的坐标。
（2）当为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转1800，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线
经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知，直接写出：
①
的取值范围为 ；
②点M移动的平均速度是 。
（1）
；（2）
（3）y=
（
＜
）；（4）①
；②点M移动的平均速度为每秒
个单位.
【解析】
试题分析：（1）由题意得
，由勾股定理得
，证得
≌
，再结合垂直平分线的性质求解即可；
（2）分①当点P在
轴的正半轴上时，②当点P在轴的负半轴上时，根据相似三角形的性质求解；
（3）由
，根据三角形的面积公式求解即可；
（4）当
与
有公共点时，初始位置点P′与点A重合由已知得，
，即可求得
，根据终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时
，从而可得t的范围，设的中点为F，当时，
，把
代入
得：
，当
时
，把
代入，得：
，即可得到
的取值范围，则可得初始位置的抛物线为
，此时
，终止位置的抛物线为
，此时
，则
，再根据移动的时间为
秒即可求得结果.
（1）由题意得 ，由勾股定理得：
在与中
∴≌
∴BD=DC=2，
∴BO=1
∴；
（2）①当点P在轴的正半轴上时，
由已知得，CP=
，OP=CO－CP=
，
由题意得：
即
，解得
；
②当点P在轴的负半轴上时
由题意得：
即
，解得
综上所述：当△POQ与△COD相似；
（3）
=（＜）；
（4）当与有公共点时，初始位置点P′与点A重合
由已知得，
，解得
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时
∴
设的中点为F，当时，
把代入得：
当时 ，把代入，得：
∴的取值范围为：
∴初始位置的抛物线为，此时
终止位置的抛物线为，此时
∴
∵移动的时间为秒，
∴点M移动的平均速度为每秒个单位.
考点：动点的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：