题目内容
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=
的图象分别
交于第一、第三象限的点B，D，已知点A（-a，0），C（a，0）．
（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是
（2）①当点B坐标为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p、k和a的值；
②直接写出不等式kx＞
的解集；
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．
2
| ||
| x |
交于第一、第三象限的点B，D，已知点A（-a，0），C（a，0）．（1）直接判断并填写：四边形ABCD的形状一定是
平行四边形
平行四边形
；（2）①当点B坐标为（p，2）时，四边形ABCD是矩形，试求p、k和a的值；
②直接写出不等式kx＞
2
| ||
| x |
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．
分析：（1）由点A（-a，0），C（a，0）得OA=OC，再根据反比例函数图象关于原点中心对称，得到OB=OD，根据平行四边形的判定即可得到四边形ABCD为平行四边形；
（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，把B（p，2）代入y2=
，可求出p=
，则B点坐标为（
，2），再利用勾股定理计算OB=
=
=
，再根据矩形的性质得
OB=OC，得到a=
，然后把B（
，2）代入y1=kx可求出k的值；
②先得到反比例函数的性质得到点D的坐标为（-
，-2），然后观察图象得到当-
＜x＜0或x＞
时，正比例函数y1=kx的图象都在反比例函数y2=
的图象的上方；
（3）由于比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，而点A、点C在x轴上，则BD与AC不可能垂直，根据菱形的判定方法得到四边形ABCD不能是菱形．
（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，把B（p，2）代入y2=
2
| ||
| x |
| 3 |
| 3 |
| BE2+OE2 |
22+(
|
| 7 |
OB=OC，得到a=
| 7 |
| 3 |
②先得到反比例函数的性质得到点D的坐标为（-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| x |
（3）由于比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，而点A、点C在x轴上，则BD与AC不可能垂直，根据菱形的判定方法得到四边形ABCD不能是菱形．
解答：解：（1）四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，如图，
把B（p，2）代入y2=
，
∴p=
=
，
∴B点坐标为（
，2），
∴OB=
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴a=
，
把B（
，2）代入y1=kx得2=k•
，
解得k=
，
②点D与点B关于原点对称，点D的坐标为（-
，-2），
等式kx＞
的解集为-
＜x＜0或x＞
；
（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
因为反比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，
所以BD与AC不可能垂直，
所以四边形ABCD不能是菱形．
（2）①过B点作BE⊥x轴于E点，如图，
把B（p，2）代入y2=
2
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| x |
∴p=
2
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∴B点坐标为（
| 3 |
∴OB=
| BE2+OE2 |
22+(
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∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴a=
| 7 |
把B（
| 3 |
| 3 |
解得k=
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| 3 |
②点D与点B关于原点对称，点D的坐标为（-
| 3 |
等式kx＞
2
| ||
| x |
| 3 |
| 3 |
（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
因为反比例函数图象与坐标轴没交点，即B点与点D不可能在y轴上，
所以BD与AC不可能垂直，
所以四边形ABCD不能是菱形．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数图象为双曲线，关于原点中心对称；点在图象上，点的坐标满足其解析式；掌握平行四边形、菱形的判定与性质和勾股定理．
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